Вступ………………………………………………………………………..3
Розділ 1. Теорія поля
1.1. Основні поняття теорії поля………………………………….5
1.2. Найпростіші векторні поля…………………………………...6
1.3. Векторне поле і його циркуляція…………………………….10
1.4. Спеціальні векторні поля……………………………………..16
1.5. Оператор лап ласа. Гармонічні функції…………………....…17
Розділ 2. Застосування теорії поля в деяких інженерних задачах
2.1. Обчислення потоку вихору векторного поля………………..19
2.2. Рівняння неприривності……………………………………….22
Висновок…………………………………………………………………….25
Список використаної літератури…………………………………………..26

Теорія поля - великий розділ, фізики, механіки, математики, в якому вивчаються скалярні, векторні, тензорні поля.
До розгляду скалярних і векторних полів призводять багато завдань фізики, електротехніки, математики, механіки та інших технічних дисциплін.
Полем називається область V простору, в кожній точці якої визначено значення деякої величини. Якщо кожній точці М цій галузі відповідає певне число U = U (M), говорять, що в області визначено, задано скалярне поле (або функція точки). Інакше кажучи, скалярне поле - це скалярна функція U(M) разом з її областю визначення. Якщо ж кожній точці М області простору відповідає певний вектор , то говорять, що задано векторне поле (або векторна функція точки).
Прикладами скалярних полів можуть бути поля температури, атмосферного тиску, щільності, електричного потенціалу і т.д. Прикладами векторних полів є поле сили тяжіння, поле швидкостей часток поточної рідини (вітру), магнітне поле, поле щільності електричного струму і т.д.
Якщо функція U (M) () не залежить від часу, то скалярний (векторне) поле називається стаціонарним; поле, яке змінюється з плином часу називається нестаціонарним.
Далі хочу розглянути лише стаціонарні поля.
Якщо V - область тривимірного простору, то скалярний поле U можна розглядати як функцію трьох змінних x, y, z (координат точки M):
Поряд з позначеннями U = U (M), U = U (x; y; z), використовують запис U = U (, де радіус-вектор точки М.)
Якщо скалярна функція U (M) залежить тільки від двох змінних, наприклад x і y, відповідне скалярний поле U (x; y) називають плоским.
Аналогічно: вектор можна розглядати як векторну функцію трьох скалярних аргументів x, y і z: або. Вектор можна представити у вигляді

де P (x; y; z), Q (x; y; z), R (x; y; z) - проекції вектора на осі координат. Якщо у вибраній системі координат Oxyz одна з проекцій вектора дорівнює 0, а дві інші залежать тільки від двох змінних, то векторне поле називається плоским.
Векторне поле називається однорідним, якщо - постійний вектор (P, Q, R - постійні величини).
Надалі будемо вважати, що скалярні функції: U (x; y; z) - визначальна скалярний поле, P (x; y; z), Q (x; y; z), R (x; y; z) - задає векторне поле, неперервні разом зі своїми приватними похідними.

1. Березанский Ю. М., Левитан Б. М.. Функциональный анализ/
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для и инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1964. – 608 с.
3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1966. – 872 с.
4. Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. – М.: Высшая школа, 1967. – 240 с.
5. Кузнецов Д.С. Специальные функции. – М.: Высшая школа, 1965. – 424 с.
6. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков; Под ред. В.А. Садовничего. – 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2004. – 640 с.
7. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие поп высшей математике. Т.3. Ч.2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы. Изд. 6-е. – М.: КомКнига, 2007.
8. Магазинников Л.И. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования. Учебное пособие. – Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 1999. – 205 с.
9. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.
10. Письменный Д.Т. – Ч.2 – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006.
11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М.: Наука, 1969. – 800 с.
12. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 464 с.

Виникнення векторного числення пов'язано з потребами механіки і фізики. На початку 19 століття відбувається нове значне розширення області додатків математичного аналізу. Якщо до цього часу основними розділами фізики, які вимагали великого математичного апарату, залишалися механіка і оптика, то тепер до них приєднуються електродинаміка, теорія магнетизму і термодинаміка. Отримують широкий розвиток найважливіші розділи механіки і безперервних середовищ, з яких тільки гідродинаміка нестисливої ідеальної рідини була створена ще в 18 столітті Д. Бернуллі, Л. Ейлером, Ж. Д'Аламбера і Ж. Лагранжем. Швидко ростуть математичні запити техніки і балістики. На початку 19 століття в якості основного апарату нових областей механіки та математичної фізики посилено розробляється теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними і особливо теорія потенціалу. У цьому напрямку працює більшість великих аналітиків початку і середини 19 століття - К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коші, П. Діріхле, Дж. Грін, М.В. Остроградський. Останній заклав основи варіаційного обчислення для функцій декількох змінних, знайшов знамениту формулу перетворення потрійних інтегралів в подвійні і її n - мірне узагальнення. Він також удосконалив теорію заміни змінних у кратних інтегралах, отримавши по суті ті результати, які були для загального n - мірного випадку пізніше компактно сформульовані К. Якобі.
У результаті дослідження за рівняннями математичної фізики в роботах Дж. Стокса та інших виникає векторний аналіз, однією з основних формул якого є формула Остроградського. Векторний аналіз - це розділ векторного числення, в якому вивчається засобами математичного аналізу векторні і скалярні функції одного або декількох аргументів (векторні поля і скалярні поля). Для характеристики даних полів вводиться цілий ряд понять, частина яких наведені в даній роботі: лінії рівня і векторні лінії, векторні трубки, градієнт скалярного поля, циркуляція, дивергенція і вихор векторного поля.
Додаток векторного аналізу широко використовується в прикладній фізиці: рівняння безперервності і рівняння руху ідеальної рідини (гідродинаміка), рівняння поширення звуку (теорія хвиль), рівняння теплопровідності (термодинаміка), рівняння Максвелла або телеграфне рівняння (електродинаміка).
Метою курсової роботи є дослідження векторного поля та його характеристик.
Відповідно до мети даного дослідження в курсовій роботі було поставлено ряд завдань:
• проаналізувати і узагальнити літературу з основ теорії поля;
• вивчити скалярні і векторні поля за допомогою засобів математичного аналізу;
• розглянути види векторних полів;
Об'єктом дослідження в курсовій роботі є процеси поведінки характеристик векторних полів.
Предметом дослідження є векторне поле і його особливості.

Векторний аналіз - розділ математики, що вивчає речовинний аналіз векторів у двох або більше вимірах. Методи векторного аналізу знаходять більше застосування у фізиці та інженерії.
Векторний аналіз вивчає векторні поля - функції з n-мірного векторного простору в m-мірний - і скалярні поля - функції з n-мірного векторного простору в безліч скалярів.
Багато з результатів векторного аналізу розглядаються як окремі випадки результатів з диференціальної геометрії.
Для отримання основних співвідношень, які використовуються у векторному аналізі, виявляється практично важливим розгляд криволінійних і поверхневих інтегралів, і їх геометричних додатків. Так, наприклад, теорема Стокса у векторній формі набуває абсолютно новий фізичний сенс.
Практично корисним є і введення оператора Гамільтона, з його допомогою зручно записувати векторні операції першого порядку (градієнт, дивергенція, ротор), а також комбінації зі скалярними і векторними функціями. Для введення диференціальних операцій другого порядку використовується оператор Лапласа. Диференціальне рівняння Лапласа відіграє важливу роль в різних розділах математичної фізики.
До розгляду скалярних і векторних полів призводять багато завдань фізики, електротехніки, математики, механіки та інших технічних дисциплін. Вивчення одних фізичних полів сприяє вивченню та інших. Математичним ядром теорії поля є розглянуті нами поняття градієнта, потоку, потенціалу, дивергенції, ротора, циркуляції та ін.. Ці поняття важливі і в засвоєнні основних ідей математичного аналізу функцій багатьох змінних.