ЗМІСТ

Вступ………………………………………………………………………..3

Розділ 1. Теорія поля

1.1. Основні поняття теорії поля………………………………….5

1.2. Найпростіші векторні поля…………………………………...6

1.3. Векторне поле і його циркуляція…………………………….10

1.4. Спеціальні векторні поля……………………………………..16

1.5. Оператор лап ласа. Гармонічні функції…………………....…17

Розділ 2. Застосування теорії поля в деяких інженерних задачах

2.1. Обчислення потоку вихору векторного поля………………..19

2.2. Рівняння неприривності……………………………………….22

Висновок…………………………………………………………………….25

Список використаної літератури…………………………………………..26

Теорія поля - великий розділ, фізики, механіки, математики, в якому вивчаються скалярні, векторні, тензорні поля.
До розгляду скалярних і векторних полів призводять багато завдань фізики, електротехніки, математики, механіки та інших технічних дисциплін.
Полем називається область V простору, в кожній точці якої визначено значення деякої величини. Якщо кожній точці М цій галузі відповідає певне число U = U (M), говорять, що в області визначено, задано скалярне поле (або функція точки). Інакше кажучи, скалярне поле - це скалярна функція U(M) разом з її областю визначення. Якщо ж кожній точці М області простору відповідає певний вектор , то говорять, що задано векторне поле (або векторна функція точки).
Прикладами скалярних полів можуть бути поля температури, атмосферного тиску, щільності, електричного потенціалу і т.д. Прикладами векторних полів є поле сили тяжіння, поле швидкостей часток поточної рідини (вітру), магнітне поле, поле щільності електричного струму і т.д.
Якщо функція U (M) () не залежить від часу, то скалярний (векторне) поле називається стаціонарним; поле, яке змінюється з плином часу називається нестаціонарним.

1. Березанский Ю. М., Левитан Б. М.. Функциональный анализ/
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для и инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1964. – 608 с.
3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1966. – 872 с.
4. Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. – М.: Высшая школа, 1967. – 240 с.
5. Кузнецов Д.С. Специальные функции. – М.: Высшая школа, 1965. – 424 с.
6. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков; Под ред. В.А. Садовничего. – 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2004. – 640 с.
7. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие поп высшей математике. Т.3. Ч.2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы. Изд. 6-е. – М.: КомКнига, 2007.
8. Магазинников Л.И. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования. Учебное пособие. – Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 1999. – 205 с.
9. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.
10. Письменный Д.Т. – Ч.2 – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006.
11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М.: Наука, 1969. – 800 с.
12. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 464 с.

ВСТУП

Виникнення векторного числення пов''язано з потребами механіки і фізики. На початку 19 століття відбувається нове значне розширення області додатків математичного аналізу. Якщо до цього часу основними розділами фізики, які вимагали великого математичного апарату, залишалися механіка і оптика, то тепер до них приєднуються електродинаміка, теорія магнетизму і термодинаміка. Отримують широкий розвиток найважливіші розділи механіки і безперервних середовищ, з яких тільки гідродинаміка нестисливої ідеальної рідини була створена ще в 18 столітті Д. Бернуллі, Л. Ейлером, Ж. Д''Аламбера і Ж. Лагранжем. Швидко ростуть математичні запити техніки і балістики. На початку 19 століття в якості основного апарату нових областей механіки та математичної фізики посилено розробляється теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними і особливо теорія потенціалу. У цьому напрямку працює більшість великих аналітиків початку і середини 19 століття - К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коші, П. Діріхле, Дж. Грін, М.В. Остроградський. Останній заклав основи варіаційного обчислення для функцій декількох змінних, знайшов знамениту формулу перетворення потрійних інтегралів в подвійні і її n - мірне узагальнення. Він також удосконалив теорію заміни змінних у кратних інтегралах, отримавши по суті ті результати, які були для загального n - мірного випадку пізніше компактно сформульовані К. Якобі.

У результаті дослідження за рівняннями математичної фізики в роботах Дж. Стокса та інших виникає векторний аналіз, однією з основних формул якого є формула Остроградського. Векторний аналіз - це розділ векторного числення, в якому вивчається засобами математичного аналізу векторні і скалярні функції одного або декількох аргументів (векторні поля і скалярні поля). Для характеристики даних полів вводиться цілий ряд понять, частина яких наведені в даній роботі: лінії рівня і векторні лінії, векторні трубки, градієнт скалярного поля, циркуляція, дивергенція і вихор векторного поля.

Додаток векторного аналізу широко використовується в прикладній фізиці: рівняння безперервності і рівняння руху ідеальної рідини (гідродинаміка), рівняння поширення звуку (теорія хвиль), рівняння теплопровідності (термодинаміка), рівняння Максвелла або телеграфне рівняння (електродинаміка).

Метою курсової роботи є дослідження векторного поля та його характеристик.

Відповідно до мети даного дослідження в курсовій роботі було поставлено ряд завдань:

• проаналізувати і узагальнити літературу з основ теорії поля;

• вивчити скалярні і векторні поля за допомогою засобів математичного аналізу;

• розглянути види векторних полів;

Об''єктом дослідження в курсовій роботі є процеси поведінки характеристик векторних полів.

Предметом дослідження є векторне поле і його особливості.

ВИСНОВОК

Векторний аналіз - розділ математики, що вивчає речовинний аналіз векторів у двох або більше вимірах. Методи векторного аналізу знаходять більше застосування у фізиці та інженерії.

Векторний аналіз вивчає векторні поля - функції з n-мірного векторного простору в m-мірний - і скалярні поля - функції з n-мірного векторного простору в безліч скалярів.

Багато з результатів векторного аналізу розглядаються як окремі випадки результатів з диференціальної геометрії.

Для отримання основних співвідношень, які використовуються у векторному аналізі, виявляється практично важливим розгляд криволінійних і поверхневих інтегралів, і їх геометричних додатків. Так, наприклад, теорема Стокса у векторній формі набуває абсолютно новий фізичний сенс.

Практично корисним є і введення оператора Гамільтона, з його допомогою зручно записувати векторні операції першого порядку (градієнт, дивергенція, ротор), а також комбінації зі скалярними і векторними функціями. Для введення диференціальних операцій другого порядку використовується оператор Лапласа. Диференціальне рівняння Лапласа відіграє важливу роль в різних розділах математичної фізики.

До розгляду скалярних і векторних полів призводять багато завдань фізики, електротехніки, математики, механіки та інших технічних дисциплін. Вивчення одних фізичних полів сприяє вивченню та інших. Математичним ядром теорії поля є розглянуті нами поняття градієнта, потоку, потенціалу, дивергенції, ротора, циркуляції та ін.. Ці поняття важливі і в засвоєнні основних ідей математичного аналізу функцій багатьох змінних.